第一章矩阵及其初等变换

矩阵的概念及其运算

矩阵的概念

矩阵A、B的行列数均相同，则称A、B同型。
A、B同型且对应元素相等，称为A、B相等，记作A=B。

特殊的矩阵

对角元都相同的对角阵 $diag(a,a,\dots,a)$ 称为数量矩阵。

矩阵乘法的性质

矩阵乘法不满足交换律， $AB\ne BA$
只有当A、B可交换时， $(AB)^k=A^kB^k$
两个同阶下三角阵的乘积仍为同阶下三角阵；两个同阶对角阵的乘积仍为同阶对角阵，只需将对角元素相乘。

矩阵的性质

$(AB)^T=B^TA^T$
$(A^k)^T = (A^T)^k$
对称矩阵的乘积不一定仍是对称阵。
$AA^T,A^TA,AB^T+BA^T$ 均为对称阵。（A、B为同阶方阵）
任意n阶方阵可以表示为一个对称阵和一个反对称阵的和。
设A、B为n阶对称矩阵， $AB=BA\leftrightarrows AB$ 为对阵矩阵。

向量与分块阵

向量

黑体小写字母 $a,b,α,β$ 等表示列向量， $a^T$ 等表示行向量。
$e_i$ $e_{i}$ 表示第i个分量为1，其余分量都为0的n元列向量。
- $e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$

分块阵

计算乘积AB时，对A的列和B的行要采用相同的分块方法。
$Ae_j, e_i^T A, e_i^T Ae_j$ 分别表示 $A$ 的第j列、第i行和元素 $a_{ij}$ 。

初等变换与初等阵

初等变换

对线性方程组作如下三种变换，方程组解不变：
- 交换两方程位置
- 用一个非零数乘以某个方程两边
- 把一个方程的倍数加到另一个方程上
矩阵的初等行变换和初等列变换合起来称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称矩阵A和B等价。记作 $A\rightarrow B$
初等行变换不改变增广阵所对应的方程组的解，初等列变换会改变。

初等阵

由单位阵E经过一次初等变换所得到的矩阵叫做初等阵。
设 $A_{m×n}$ $A_{m \times n}$ ，则：
1. 交换A的第i, j行： $E_{i, j}A$ ，交换A的第i, j列： $AE_{i, j}$
2. A的第i行乘以k： $E_i(k)A$ ， A的第i列乘以k： $AE_i(k)$
3. A的第i行乘以k加到第j行上： $E_{j,i}(k)A$ ，A的第i列乘以k加到第j列上： $AE_{i,j}(k)$

矩阵的等价标准型

对于任何方阵A，只用有限次倍加行（或列）变换都能将A化为上三角阵，则一定存在倍加阵 $P_i(i=1,2,\dots,k)$ 使得 $P_k\dots P_2P_1A$ 为上三角阵。
对于任何m×n型非零矩阵A，存在m阶初等阵 $P_i(i=1,2,\dots,k)$ 和n阶初等阵 $Q_1,Q2,\dots,Q_l$ 使得

$Pk\dots P_2P_1AQ_1Q_2\dots Q_l=F,$

$F=\begin{pmatrix}E_s&O\\O&O\end{pmatrix}$

叫做矩阵A的等价标准形。

第二章行列式

行列式的定义

设 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ,

当n=1时， $A=(a_{11}), det(A) = a_{11}$
当n>1时， $det(A)=\sum_{k=1}^{n}a_{k1}(-1)^{k+1}*det(A(k,1))$
把 $a_{ij}$ 的余子阵 $A(i,j)$ 的行列式 $det(A(i,j))$ 叫做 $a_{ij}$ 的余子式，把 $(-1)^{i+j}*det(A(i,j))$ 叫做 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$ ，即 $A_{ij}=(-1)^{i+j}*det(A(i,j))$

行列式的性质

$|A^T|=|A|$
方阵A的某行（列）的元素全为0，则 $|A|=0$
若方阵A和B只有第j列不同，则A、B的第j列对应元素的代数余子式相同。
$|a_1, \dots,ka_i,\dots,a_n|=k|a_1, \dots,a_n|$
$|a_1, \dots,a_i+b,\dots,a_n|=|a_1, \dots,a_i,\dots,a_n|+|a_1, \dots,b,\dots,a_n|$
$|kA|=k^n|A|$
若n阶方阵A中有两列（行）相同、成比例，则 $|A|=0$
对方阵A进行一次倍加行（列）变换得到B，则 $|A|=|B|$
对方阵A进行一次对调行（列）得到B，则 $|A|=-|B|$
$a_{1i}A_{1j}+\dots+a_{ni}A_{nj}=\begin{cases}|A| (i=j)\\ 0(i\ne j)\end{cases}$
对第i行（列）进行倍加操作后，第i行的余子式的值不会改变。

行列式的计算

范德蒙德行列式

$V_n=\begin{pmatrix}1&1&\dots&1\\x_1&x_2&\dots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\dots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\end{pmatrix}$

$det(V_n)=\prod_{1\le i \textless j\le n}(x_j-x_i)$

分块三角行列式以及矩阵乘积的行列式

设A和B分别为m阶和n阶方阵，C为m×n型矩阵，则 $\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|$
设A和B都是n阶方阵，则 $|AB|=|A|\cdot|B|$
设A为n阶方阵，k为正整数，则 $|A^k|=|A|^k$
拉普拉斯定理

第三章可逆阵以及n×n型线性方程组

可逆阵

可逆阵定义

对于方阵A，若存在方阵B，使得 $AB=BA=E$ ，则A叫做可逆阵，B叫做A的逆阵。否则A不可逆。
若A可逆，则A的逆阵是唯一的。
我们把A的逆阵记作 $A^{-1}$ ， $AA^{-1}=A^{-1}A=E$
当A可逆时，矩阵乘法满足消去律。
证明方阵A可逆的方法：
1. 证明 $|A|\ne 0$
2. 找出方阵B，证明 $AB=E$
可逆阵A的性质：
1. $A^{-1}$ 也可逆
2. $A^T$ 也可逆， $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
3. 若 $k\ne 0$ ，kA也可逆， $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
4. 若 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 为同阶可逆方阵，则 $(A_1A_2\dots A_n)^{-1}=A_n^{-1}\dots A_2^{-1}A_1^{-1}$
5. A、B可逆， $A\pm B$ 不一定可逆，即使可逆， $(A\pm B)^{-1}$ 也不一定等于 $A^{-1}\pm B^{-1}$

伴随阵

设n>1， $A=(a_{ij})_{n× n}$ ，把矩阵

$A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\dots A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots A_{n2}\\\vdots&\vdots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\dots A_{nn}\end{pmatrix}$ 叫做A的伴随阵。

设A是n阶方阵，n>1，则 $AA^*=A^*A=|A|E$
方阵A可逆的充要条件是 $|A|\ne0$ ，并且当A可逆时， $\textstyle |A^{-1}|=\frac 1{|A|}$ , $A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}$
对于方阵A，当 $|A|=0$ 时，称A为奇异阵，当 $|A|\ne0$ 时，称A为非奇异阵
可逆阵均为非奇异阵。

求逆阵的初等变换法

方阵A可逆的充要条件：A能表示成有限个初等阵的乘积。
方阵A可逆的充要条件：A与E等价。
矩阵A和B等价的充要条件是存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。

n×n型线性方程组

n×n型齐次线性方程组

齐次线性方程组 $Ax=0$ 一定有解 $x=0$ ，我们称该解为零解。若 $u\ne0$ 也是 $Ax=0$ 的解，则称 $u$ 为 $Ax=0$ 的非零解。
n×n型齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解的充要条件是 $|A|\ne0$

n×n型非齐次线性方程组

n×n型非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解的充要条件是 $|A|\ne0$ （A可逆），其解为 $x=A^{-1}b$
Cramer法则：当 $|A|\ne 0$ 时，n×n型非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解： $\textstyle x_i=\frac{|B_i|}{A}(i=1,2,\dots,n)$ ，其中， $B_i$ 是把A的第i列 $a_i$ 换成b的矩阵。

分块阵的初等变换

下面三种变换统称为分块初等变换
1. 对调变换：对调分块阵的两行或两列
2. 倍乘变换：将分块阵的某一行左乘一个可逆阵，或者将分块阵的某一列右乘一个可逆阵
3. 倍加变换：将分块阵的某一行左乘一个矩阵后加到另一行上去，或将分块阵的某一列右乘一个矩阵后加到另一列上去
将单位阵的行列做同样的分块所得到的分块阵称为分块单位阵
对分块单位阵进行一次分块初等变换所得到的矩阵叫做分块初等阵
对一个分块阵M进行一次分块初等行（列）变换相当于用一个对应的分块初等阵左乘（右乘）分块阵M。
设分块阵 $M=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$ $M = (A B)$ ，A为m×s型矩阵，B为n×s型矩阵，且m+n=s，对M进行分块初等行变换，则有如下结论：
1. 若 $\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix}$ ，则 $|M|=(-1)^{mn}|N|$
2. 若 $\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}PA\\B\end{pmatrix}$ ，其中P为m阶可逆阵，则 $|M|=\frac{|N|}{|P|}$ ，
3. 若 $\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}A\\B+KA\end{pmatrix}$ ，其中K为n×m型矩阵，则 $|M|=|N|$

第四章向量组的线性相关性与矩阵的秩

向量组的线性相关性和秩

对于向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n,b$ ，若存在n个数 $k_1,k_2,\dots,k_n$ ，使得 $b=k_1a_1+\dots,k_na_n$ ，则称b是向量 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 的线性组合，或称向量b能由 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表示。

向量组的线性相关性

对于向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ ：
1. 若存在n个不全为0的数 $k_1,k_2,\dots,k_n$ 使得 $k_1a_1+\dots,k_na_n=0$ ，则称该向量组线性相关
2. 若仅当 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 全为0时才使 $x_1a_1+\dots,x_na_n=0$ ，则称该向量组线性无关。
设 $A=(a_1,a_2,\dots,a_n)$
1. 向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性相关（无关） $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解（只有零解）。
2. 当A为方阵时，向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性相关（无关） $\Leftrightarrow |A|=0(|A|\ne0)$
3. 可逆阵的列向量组一定线性无关
含有零向量的向量组一定线性相关
单个向量a线性相关（无关） $\Leftrightarrow a=0(a\ne 0)$
向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n(n\ge2)$ 线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表示。
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性无关，而向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n,b$ 线性相关，则向量b可由 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表示且表达式唯一。
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性无关，而向量 $a_{n+1}$ 不能由 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表示，则向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n,a_{n+1}$ 线性无关。
设向量b可由向量 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表示，则表达式唯一 $\Leftrightarrow$ 向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性无关。
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性相关，则向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n,a_{n+1},\dots,a_m$ 也线性相关
设r元向量组Ⅰ为 $a_1,a_2,\dots,a_m$ ；s元向量组Ⅱ为 $b_1,b_2,\dots,b_m$ ；（r+s）元向量组Ⅲ为 $c_1,c_2,\dots,c_m$ ，其中：

$c_i=\begin{pmatrix}a_i\\b_i\end{pmatrix}$
1. 若向量组Ⅰ和Ⅱ有一个线性无关，则向量组Ⅲ也线性无关。
2. 若向量组Ⅲ线性相关，则向量组Ⅰ和Ⅱ都线性相关

向量组的秩和极大无关组

向量组V中，若含有r个向量的子向量组线性无关，并且V中任意含r+1个向量的子向量组都线性相关，则把r叫做向量组V的秩。若向量组的秩为r，则V中含有r个向量的线性无关的子向量组叫做V的极大（线性）无关组（或称最大无关组）
1. 向量组线性无关（相关） $\Leftrightarrow$ 向量组V的秩等于（小于）其所含向量的个数。
2. 非零向量组，秩存在且唯一，极大无关组存在但一般不唯一。
向量组V中的每个向量都可由其极大无关组唯一地线性表示。

矩阵的秩

矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩分别叫做矩阵A的行秩和列秩。
设A为m×n型矩阵， $1\le k\le min\{m,n\}$ ，由矩阵A的k个行和k个列相交处的 $k^2$ 个元素按照原来的相对位置所构成的方阵叫做A的k阶子阵，其行列式叫做矩阵A的k阶子式。
矩阵A中非奇异子阵的最高阶数（即非零子式的最高阶数）称为矩阵A的秩，记作 $r(A)$ ；当A为零矩阵时，规定 $r(A)=0$
设A为m×n型矩阵，由矩阵的秩的定义可知：
1. $r(A)\le m$ 且 $r(A)\le n$
2. $r(A)=m\Leftrightarrow$ A有m阶子式不为零
3. $r(A)=n\Leftrightarrow$ A有n阶子式不为零
4. $r(A)=r\Leftrightarrow$ A有r阶子式不为零且A的所有r+1阶子式都为零
5. A的增广阵的秩不小于A的秩，例如 $r((A,B))\ge r(A)$
6. 当 $k\ne 0$ 时， $r(kA)=r(A)$

矩阵的秩的性质

$r(A^T)=r(A)$
$r(A)=$ A的行秩=A的列秩
设A为m×n型矩阵，P为m阶可逆阵，B=PA，则A中任意r个列向量 $a_{i_1},a_{i_2},\dots,a_{i_r}$ $a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{r}}$ 和B中对应的列向量 $b_{i_1},b_{i_2},\dots,b_{i_r}$ $b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \dots, b_{i_{r}}$ 满足相同的线性表达式，从而具有相同的线性相关性。（对矩阵做初等行变换，矩阵的列向量组及其子向量组的线性相关性不变）
1. A和B的列向量组的极大无关组一一对应，r(B) = r(A)
2. $a_j = k_1a_{i_1}+\dots+k_ra_{i_r}\Leftrightarrow b_j = k_1b_{i_1}+\dots+k_rb_{i_r}$
设A为m×n型矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆阵，则： $r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)$
初等变换不改变矩阵的秩
$A=(a_{ij})_{m×n}$ 的秩为r $\Leftrightarrow$ A与 $F=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}$ 等价，即存在可逆阵，使得 $PAQ=F$
设A、B、C分别为m×n型，s×t型，m×t型矩阵，则：
1. $r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B)$
2. $r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\end{pmatrix}= r(A)+r(B)$
$r(A)+r(B)-k\le r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$ ，其中A为m×k型矩阵，B为k×n型矩阵。
$r((A,B))\le r(A)+r(B)$ ，其中A为m×n型矩阵，B为m×k型矩阵。
$r(A+B)\le r(A)+r(B), r(A-B)\le r(A)+r(B)$ ，其中A、B都是m×n型矩阵

满秩阵

设A为n阶方阵，当 $r(A)=n$ 时，A叫做满秩阵；当 $r(A)<n$ 时，A叫做降秩阵。
满秩阵具有如下结论，设A为n阶方阵，x和b为n元列向量，则下列命题互相等价：
1. A为满秩阵
2. A为非奇异阵
3. A为可逆阵
4. $Ax=0$ 只有零解
5. $Ax=b$ 有唯一解
6. A的行向量和列向量都是线性无关的。
$r(A^*) = \begin{cases}n, r(A)=n\\1,r(A)=n-1\\0,r(A)<n-1\end{cases}$

矩阵的秩在向量组中的应用

判断向量组线性相关性

求向量组的极大线性无关组

用初等行变换将矩阵A化为B $\Leftrightarrow$ 存在可逆阵P，使得B=PA。根据推论，A和B的列向量组的极大无关组一一对应，并且对应列向量满足相同的线性表达式。因此，我们可以用初等行变换将矩阵A化为行阶梯阵B，通过B的列向量组的极大无关组来找到A的列向量组的极大无关组，通过B中的列向量所满足的表达式来求出A中的列向量所满足的表达式。

两个向量组之间的线性表示

若向量组Ⅰ： $b_1,b_2,\dots,b_n$ 中的每个向量都能由向量组Ⅱ： $a_1,a_2,\dots a_m$ 线性表示，则称向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示。若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ能够互相线性表示，则称这两个向量组等价。
1. 一个向量组与其极大无关组是等价的。
2. 一个向量组的两个极大无关组是等价的。
3. 向量组等价与矩阵等价的含义不同。
向量组 $b_1,b_2,\dots, b_n$ 能由向量组 $a_1,a_2,\dots, a_n$ 线性表示 $\Leftrightarrow$ 存在矩阵P，使 $B=AP$ ，其中 $A=(a_1,a_2,\dots, a_n), B=(b_1,b_2,\dots, b_n)$
若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则 $r(Ⅰ)\le r(Ⅱ)$
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，则 $r(Ⅰ)= r(Ⅱ)$
（极大无关组等价定义）若向量组V中的r个向量 $v_1,v_2,\dots,v_r$ 线性无关，并且V中的任一向量都可由 $v_1,v_2,\dots,v_r$ 线性表示，则 $v_1,v_2,\dots,v_r$ 是向量组V的一个极大无关组。
向量组Ⅰ： $b_1,b_2,\dots,b_m$ 能由向量组Ⅱ： $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表示的充要条件是： $r(a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_m)=r(a_1,a_2,\dots,a_n)$
向量组 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 与向量组 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 等价的充要条件是： $r(a_1,a_2,\dots,a_m,b_1,b_2,\dots,b_n)=r(a_1,a_2,\dots,a_m)=r(b_1,b_2,\dots,b_n)$
矩阵方程AX=B有解 $\Leftrightarrow r((A,B))=r(A)$